ترمودینامیک

مطالعه ترمودینامیک را مهندسین قرن نوزدهم آغاز کردند؛ آنها می خواستند بدانند قوانین فیزیک چه محدودیت هایی بر عملکرد ماشین های بخار و سایر ماشین های تولید کننده انرژی مکانیکی تحمیل می کنند. ترمودینامیک درباره تبدیل یک شکل انرژی به شکلی دیگر، به ویژه تبدیل گرما به سایر شکلهای انرژی بحث می کند. این کار با مطالعه روابط بین پارامترهای صرفا ماکروسکوپی صورت می گیرد که رفتار سیستمهای فیزیکی را توصیف می کنند. این گونه توصیف ماکروسکوپی (و در مقیاس بزرگ)، لزوما تا حدی خام است، چرا که همه جزئیات کوچک مقیاس و میکروسکوپی را نادیده می گیرد. اما در کاربردهای عملی، این جزئیات اغلب مهم نیستند. برای مثال، مهندسی که رفتارهای گازهای حاصل از احتراق را در سیلندر یک موتور اتومبیل بررسی می کند می تواند با کمیتهای ماکروسکوپی همچون دما، فشار، چگالی و ظرفیت حرارتی کار خود را پیش ببرد.موتور درونسوز برای تبدیل یک نوع انرژی به نوعی دیگر ساخته شده است.در واقع دانشمندان به دنبال یافتن پاسخ این پرسش بودند که آیا می توان ماشینی ساخت که به طور دائمی کار مکانیکی انجام دهد. آنها مدتها بر روی این موضوع تحقیق کردند و تعدادی از محققین نیز طرحهایی برای این کار پیشنهاد نمودند. این طرحها محدودیتهای قوانین ترمودینامیک را رعایت نمی کردند. در این طرحها بدون انجام دادن کار انرژی گرفته می شد. هدف این بود که ابزار ساخته شده بدون مصرف هیچ گونه سوخت یا هر گونه انرژی ورودی دیگر، کار خروجی بی پایانی را تامین کند. در شکل میله های کوتاه لولا شده، که به میخ ها تکیه دارند، وزنه ها را به چرخ متصل می کنند. وقتی میله ها در وضعیت نشان داده شده هستند، عدم توازنی در توزیع وزن وجود دارد که موجب ایجاد یک گشتاور ساعتگرد خواهد شد که چرخ را در جهت نشان داده شده می چرخاند. طراح می پنداشت این گشتاور همیشگی است و نه تنها چرخش چرخ را حفظ می کند، بلکه به طور دائمی به محور آن انرژی می دهد. اما آنچه در عمل اتفاق می افتد اینست که پس از یک دور چرخیدن، جرم ها در یک وضعیت متعادل باقی می مانند و حرکت متوقف می شود. در این راه کوششهای فراوانی صورت گرفت، اما هیچکدام عملی نبود.
طرحهایی که عملاً با شکست رو به رو شدند. یافته های حاصل از آزمایشان نشان داد که ساختن چنین ماشینی غیر ممکن است. قانوناول ترمودینامیک نیز چیزی نیست، مگر بیان همین بقای انرژی.
اگر تنها راه تغییر دادن انرژی یک دستگاه، انجام دادن کار روی دستگاه و یا واداشتن دستگاه به انجام کار بود، مسئله ساده بود. هر کاری که روی دستگاه انجام می دادیم در نهایت به صورت انرژی مکانیکی پس گرفته می شد. دادن گرما به دستگاه هم سبب بالا رفتن دمای آن می شود و وقتی جسم به دمای اولیه اش بازمی گشت، گرمایی را که قبلا گرفته بود عینا پس می داد. به این ترتیب می شد از نوعی انرژی مکانیکی داخلی دستگاه سخن گفت که عبارت بود از جمع جبری کار انجام یافته به وسیله دستگاه و کار انجام شده روی آن؛ در کنار آن دستگاه دارای یک محتوای گرمایی بود، که از جمع جبری گرمای داده شده به دستگاه و گرمای گرفته شده از آن محاسبه می گردید.

قوانین اول و دوم

---

قانون اول ترمودینامیک
آزمایش ژول نشان داد که این تئوری نادرست است. دمای یک جسم را می شد با انجام دادن کار روی آن تغییر داد؛ یک جسم می توانست گرما بگیرد (مثلا ماشین بخار) و کار مکانیکی انجام دهد. به این ترتیب معلوم شد که نمی توان از گرمایی که در مقدار معینی ماده وجود دارد و یا از انرژی مکانیکی آن به صورت جدا از هم سخن گفت. جسم فقط دارای یک مخزن انرژی است، که آن را "انرژی داخلی" می نامیم.
هم کار مکانیکی و هم گرما در این مخزن سهیم اند؛ برداشت انرژی از این مخزن می تواند به صورت کار مکانیکی و یا گرما باشد. این، قانون اول ترمودینامیک است:

هر گاه فرآیندی را که با گرما و کار سر و کار دارد به کار گیریم تا دستگاهی را از یک حالت آغازین به یک حالت جدید برسانیم، تغییر انرژی درونی سیستم مقدار ثابتی دارد که مستقل از جزئیات فرآیند است.
تغییرات انرژی درونی برابر مجموع کار انجام شده بر روی سیستم و گرمای داده شده به آن می باشد. به عبارت دیگر اگر تغییرات انرژی درونی را با Δu ، کار انجام شده بر روی سیستم را با w و گرمای داده شده به آن را با Q نشان دهیم، خواهیم داشت:
Q+W=Δu
البته مقدار کار یا میزان گرما به جزئیات و مسیر فرآیند وابسته اند.
قانون اول به ما اجازه می دهد که مقدار مجهول گرما یا کار لازم برای یک فرآیند را با استفاده از مقدار گرما و کار لازم برای فرآیندی متفاوت که سیستم را از همان حالت آغازین به حالت نهایی مشابه می رساند، محاسبه کنیم.
همچنین گاه به کمک آن می توانیم نتایج کیفی عمومی چندی درباره رفتار یک سیستم به دست آوریم.

‌یک بطری را که از نظر حرارتی عایق بندی شده با گاز آرمانی در دمایی مانند T1 بردارید، و به وسیله یک لوله که شیری دارد، آن را به بطری عایق بندی شده دیگری که خلاء شده است متصل کنید. (شکل زیر) اگر ناگهان شیر را باز کنید، گاز از بطری اول به درون دومی خواهد شتافت تا فشارها برابر شوند. به طور تجربی، دریافته ایم که این فرآیند انبساط آزاد، دمای گاز را تغییر نمی دهد- هنگامی که گاز به تعادل دست می یابد و از شارش باز می ایستد، دمای نهایی هر دو بطری برابر با دمای آغازین(T1) است.

چه چیزی می توانیم از این مشاهده تجربی استنتاج کنیم؟ از آنجا که بطریها از نظر حرارتی از محیط پیرامونشان عایق بندی شده اند، فرآیند انبساط نه گرمایی به گاز می افزاید و نه از آن می گیرد. یعنی Q=0 است. افزون بر این، فرآیند انبساط متضمن کاری نیست ( به استثناء مقدار ناچیزی که برای چرخاندن شیر لازم است)، یعنی W=0 است. در نتیجه قانون اول به ما می گوید که انرژی گاز تغییر نمی کند.
این نشان می دهد که تغییر حجم بر انرژی اثر نمی گذارد؛ یعنی، انرژی درونی گاز آرمانی تابعی از حجم نیست. بنابر قانون اول، فرض شده است انرژی گاز تابعی از پارامترهای ماکروسکوپی p،V و T است. از آنجا که قانون گاز آرمانی به ما اجازه می دهد که p را بر حسب V و T بیان کنیم، انرژی را می توان به صورت تابعی از دو متغیر V و T انگاشت. ولی مطالب بالا نشان می دهد که تغییر حجم بر انرژی بی اثر است؛ در نتیجه انرژی درونی گاز آرمانی تابعی از دمای تنهاست.
نتایج ترمودینامیک فقط برای حالتهای تعادلی سیستم بکار می رود، یعنی آن حالتهای ایستایی که سیستم، هنگامی که انتقال جرم، انتقال حرارت، و همه واکنشهای شیمیایی و دیگر واکنشها به پایان می رسند، در آن آرام می گیرد. برای گاز درون دو بطری که در شکل نشان داده شده، حالت آغازین (گاز در یک بطری محدود شده و شیر بسته است) یک حالت تعادل است، و حالت نهایی (گاز به طور یکنواخت در هر دو بطری توزیع شده) نیز یک حالت تعادل است. اما حالت میانی، هنگامی که بلافاصله پس از این که شیر را باز می کنیم، و گاز از بطری پر به درون بطری خالی هجوم می برد، یک حالت تعادل نیست.
بنابراین مجبوریم در این مورد (و نیز در سایر مسائل ترمودینامیک) محاسبات را به تغییرات کند و گام به گام (شبه ایستا و نزدیک به حالت تعادل) محدود می کنیم تا فرمولها در حین تغییر نیز صادق باشند. ممکن است چنین محدودیتی دست و پا گیر به نظر برسد، اما در عمل آنقدر هم که تصور می شود دردسرساز نیست.

قانون دوم ترمودینامیک

در قسمت بالا مشخص شد که می‌توان انرژی درونی یک جسم را به صورت گرما یا انرژی مکانیکی استخراج کرد. دانشمندان در صدد بودند که ماشینی بسازند که بتواند با دریافت انرژی کمتر، کار ( یا گرمای ) بیشتری تحویل دهد. اگر بتوان تمام انرژی درونی یک جسم را به کار تبدیل کرد، تا حد زیادی به این هدف نزدیک می‌شویم. می‌خواهیم ماشینی بسازیم که قادر باشد پس از انجام مقدار معینی کار به نقطه ابتدایی خود باز گردد؛ در این صورت این ماشین می‌تواند به طور دائمی کار تولید کند. این فرآیند را یک "چرخه" می‌نامند. حال اگر منبع انرژی این چرخه، انرژی درونی ماده باشد، می‌توان تا پایان یافتن این انرژی درونی، دمای جسم را کاهش داد و در عوض کار تولید کرد.
در عمل هیچ گاه نمی توان چنین ماشینی ساخت. هیچ ماشینی نیست که فقط با یک منبع گرمایی کار کند. برای آنکه در یک چرخه، مقداری کار انجام گیرد و مقداری گرما استخراج شود، باید قسمتی از چرخه در دمایی پایین تر از دمای منبع عمل کند. قانون دوم ترمودینامیک در واقع همین مطلب را آشکار می‌سازد.
قوانین ترمودینامیک به ما نشان می‌دهند که چه چیز امکان پذیر نیست. از این رو هیچ تجربه یا آزمایشی به تنهایی نمی تواند آدمی را متقاعد کند که این قوانین صحیح هستند. تنها چیزی که می‌توان گفت این است که ترمودینامیک تاکنون در تفسیر و پیش بینی همه پدیده های گرمایی موفق بوده و هنوز هم هست.

ماشین گرمایی

---

ماشین گرمایی
گرما را می‌توان با سوخت تولید نمود، امّا معمولاً آنچه نیاز داریم کار مکانیکی است. ماشینی که در یک فرآیند چرخه ای انرژی گرمایی را به کار مکانیکی تبدیل کند، ماشین گرمایی نامیده می‌شود.
ماشینهای گرمایی اولیه بازده بسیار کمی داشتند. تنها بخش کوچکی از گرمای گرفته شده از منبع گرمایی می‌توانست به کار مفید تبدیل شود. حتّی پس از تکامل طراحی فنی این ماشین ها، باز هم کسر قابل ملاحظه ای از گرما هدر می‌رفت و به انرژی مکانیکی تبدیل نمی شد. آرزوی ابداع ماشینی که بتواند گرما را از یک منبع بی انتها، مثلاً آب اقیانوس، بگیرد و آن را به طور کامل به کار مفید تبدیل کند، هیچ وقت عملی نشد. اگر می‌شد، ما دیگر نیازی به سوزاندن سوخت نداشتیم. می‌توان ثابت کرد که اگر چنین می‌شد، حتی امکان این را داشتیم که ماشینی بسازیم که بدون نیاز به کار خارجی، گرما را از جسم سرد به جسم گرم منتقل کند ( یعنی یک یخچالی که انرژی مصرف نمی کند! ). هیچ یک از این آرزوهای بلند پروازانه منافاتی با قانون اول ترمودینامیک ندارد. ماشین گرمایی، انرژی حرارتی را به انرژی مکانیکی تبدیل می‌کرد، امّا میزان کل انرژی در این فرآیند ثابت بود. با وجود این، هیچکدام از این آرزوها هرگز تحقق نیافته اند.
قانون دوم ترمودینامیک نیز - که از تعمیم تجربه های متعدد حاصل شده است - مؤید آن است که چنین ماشین هایی وجود ندارند. این قانون به چندین صورت مختلف بیان می‌شود که می‌توان نشان داد همگی آنها معادل یکدیگر هستند؛ یعنی اگر هر یک از این بیان‌ها نادرست فرض شود، می‌توان نشان داد بیان های دیگر نیز نادرست است. ما در اینجا دو صورت از بیان این قانون را ذکر می شود. در صورت اول بر بازده تبدیل گرما به کار تأکید می‌شود و صورت دوم به برگشت ناپذیری طبیعت توجه دارد.
صورت اول، بیان کلوین: فرآیندی که تنها نتیجه آن تبدیل کامل گرما به کار باشد، به هیچ وجه ممکن نیست.
صورت دوم، بیان کلاوسیوس: انتقال گرما از یک جسم سرد به یک جسم گرمتر، بدون انجام کار، ممکن نیست.
بیان کلوین می‌گوید که در تبدیل گرما به کار نمی توان به بازده صد درصد دست یافت؛ و بیان کلاوسیوس، امکان معکوس شدن تمایل طبیعی گرما به جاری شدن از جسم گرم به جسم سرد، بدون دخالت عامل خارجی ( مثلاً به صورت کار ) را نفی می‌کند. به عبارت دیگر، بیان اول امکان ساختن ماشین گرمایی ایده آل و بیان دوم امکان ساختن یخچال ایده آل را نفی می‌کند.

مراحل مطالعه ترمودینامیک

قدم اول در مطالعه ترمودینامیک ، انتخاب قسمتی از فضا یا شی و یا نمونه است که به اختیار در نظر گرفته و مطالعه روی آن متمرکز می‌شود این قسمت را اصطلاحا سیستم می‌گویند. بقیه فضا یا شی نمونه را که در تماس با سیستم بوده و در تحولات سیستم دخالت دارد یا به بیان دیگر با سیستم اندرکنش می‌کند، به مفهوم کلمه ، محیط اطراف می‌گوییم.

قدم بعدی انتخاب روش و یا دیدگاهی است که بررسی و مطالعه از آن دیدگاه صورت می‌گیرد. در این رهگذر دو دیدگاه به ظاهر متفاوت وجود دارد که عبارتند از:

دیدگاه ماکروسکوپیک
Macroscopic
دیدگاه ماکروسکوپیک ، یک نگرش کلی است و مشخصات کلی ، یا خواص بزرگ مقیاس سیستم ، مبنای توصیف ماکروسکوپی سیستم را تشکیل می‌دهند. بطور خلاصه ، توصیف ماکروسکوپیکی یک سیستم عبارت از مشخص کردن چند ویژگی اساسی و قابل اندازه‌ گیری آن سیستم است.

دیدگاه میکروسکوپیک
Microscopic
از نظر آماری ، یک سیستم متشکل از تعداد بسیار زیادی ملکول( Nمولکول) که هر کدام از این مولکولها می‌تواند در مجموعه‌ای از حالتهایی که انرژی آنها مساوی E1 و E2 و ... است، قرار می‌گیرد. این سیستم را می‌توان بصورت منزوی در نظر گرفت و یا در بعضی موارد می‌توان فرض کرد که مجموعه‌ای از سیستمهای مشابه، یا جمعی از سیستمها، آنرا در بر گرفته‌اند.
زمانی که برابری حرارت با انرژی مکانیکی، بطور قاطع محقق شد، موقع آن فرا رسید که قوانین مربوط به تبدیل شکلی از انرژی به شکل دیگر، تدوین شود. نخستین گامی که در این جهت برداشته شد، توسط فیزیکدان آلمانی ، رودلف کلاسیوس (Clausius) و فیزیکدان انگلیسی ، لرد کلوین (Keluin) در نیمه دوم قرن نوزدهم صورت گرفت. این تلاشها به همین صورت ادامه یافت تا اینکه قوانین اساسی ترمودینامیک که بدنه اصلی و زیر بنای این علم را تشکیل می‌دهند، تدوین شد.

قانون صفرم ترمودینامیک

یک کمیت اسکالر به نام دما وجود دارد که خاصیتی است متعلق به تمام سیستمهای ترمودینامیکی (در حال تعادل)، بطوری که برابری آن شرط لازم و کافی برای تعادل گرمایی است.

قانون اول ترمودینامیک
اگر سیستمی فقط به طریقه بی‌دررو از یک حالت اولیه به یک حالت نهایی برده شود، کار انجام شده برای تمام مسیرهای بی‌دررو که این دو حالت را به یکدیگر مربوط کنند، یکسان است.

قانون دوم ترمودینامیک
هیچ فرآیندی که تنها نتیجه آن جذب گرما از یک منبع و تبدیل گرما به کار باشد، امکان پذیر نیست. به بیان دیگر می‌توان گفت که امکان ندارد که تنها اثر یک ماشین چرخه‌ای آن باشد که بطور مداوم آزمایشهای مربوط به گرما را از جسمی به جسم دیگر با دمای بالا منتقل کند.

قانون سوم ترمودینامیک
این قانون بیان می‌کند که ممکن نیست از طریق یک سلسله فرآیند متناهی به صفر مطلق دست یافت. به عبارتی رسیدن به صفر مطلق محال است. البته به نزدیکیهای صفر مطلق می‌شود رسید، اما خود صفر مطلق قابل دسترس نمی‌باشد.

ارتباط کمیات ماکروسکوپیک و میکروسکوپیک
کمیتهای ماکروسکوپیک و میکروسکوپیک هر سیستمی باید باهم ارتباط داشته باشند. زیرا آنها از دو راه مختلف ، وضعیت یکسانی را توصیف می‌کنند. بویژه ، باید بدانیم که کمیتهای ماکروسکوپیک را بر حسب کمیتهای میکروسکوپیک بیان کینم.
بعنوان مثال فشار یک گاز، عملا با استفاده از فشارسنج اندازه‌ گیری می‌شود، اما از دیدگاه میکروسکوپیک ، فشار مربوط است به آهنگ متوسط انتقال اندازه حرکت ملکولهای گاز که به واحد سطح فشارسنج برخورد می‌کنند. اگر بتوانیم کمیتهای ماکروسکوپیک را بر حسب کمیتهای میکروسکوپیک تعریف کنیم، قادر خواهیم بود قوانین ترمودینامیک را بطور کمی به زبان مکانیک آماری بیان کنیم.
ارتباط ترمودینامیک با مکانیک آماری
توضیح علم ترمودینامیک به کمک علم انتزاعی‌تر مکانیک آماری، یکی از بزرگترین دستاوردهای فیزیک است. علاوه بر این، بنیادی‌تر بودن نکات مکانیک آماری، به ما امکان می‌دهد که اصول عادی ترمودینامیک را تا حد قابل توجهی تکمیل کنیم.

چشم انداز ترمودینامیک
توصیف مشخصات کلی یک سیستم به کمک تعدادی از ویژگیهای قابل اندازه‌ گیری آن ، که کم و بیش توسط حواس ما قابل درک هستند، یک توصیف ماکروسکوپیک است. این توصیفها نقطه شروع تمام بررسیها در تمام شاخه‌های فیزیک هستند. اما در ترمودینامیک توجه ‌ما به داخل سیستم معطوف می‌شود، بنابراین دیدگاه ماکروسکوپی را اختیار می‌کنیم و بر آن دسته از کمیات ماکروسکوپی تأکید می‌کنیم که رابطه‌ای با حالت داخلی سیستم داشته باشند.

تعیین کمیتهایی که برای توصیف این حالت داخلی لازم و کافی هستند، به عهده آزمایش است. آن کمیتهای ماکروسکوپیکی که به حالت داخلی سیستم مربوط هستند، مختصات ترمودینامیک خوانده می‌شوند. این مختصات ، برای تعیین انرژی داخلی سیستم بکار می‌آیند. هدف ترمودینامیک ، پیدا کردن روابط کلی این مختصات ترمودینامیکی است که با قوانین بنیادی ترمودینامیک سازگار باشند. سیستمی را که بتوان بر حسب مختصات ترمودینامیکی توصیف کرد، سیستم ترمودینامیکی می‌گویند.


ترمودینامیک و عالم
سی.پی. اسنو زمانی گفت که ندانستن قانون دوم ترمودینامیک مانند این است که از شکسپیر هرگز چیزی نخوانده باشیم. اما در حالی که بسیاری از مردم قانون اول را که می گوید«انرژی نه ایجاد می شود و نه از بین می رود»، به خوبی درک می کنند، اندک اند کسانی که با قانون دوم که می گوید« آنتروپی فقط افزایش می یابد» ، آشنایی دارند. به هر حال، آنتروپی چیست و چرا باید افزایش یابد؟ ما چه بخواهیم چگونگی کارکرد دستگاهی به سادگی یخچال را بفهمیم و چه بخواهیم به سرنوشت عالم پی ببریم، نخست باید مفاهیم انرژی و آنتروپی را درک کنیم.
در کتاب ترمودینامیک و عالم، مارتین و اینگه گلدشتاین قوانین ترمودینامیک را برای علاقه مندان و نوآموزان علم بیان می کنند. آنها نخست تاریخچِه ترمودینامیک را به سرعت بیان می کنند سپس نشان می دهند که این قوانین چگونه از نظریه اتمی ماده پیروی می کنند و از کابردشان در پدیده های گوناگونی مانند تابش نور از اجسام داغ، تشکیل الماس از گرافیت، حمل اکسیژن به وسیله خون، و تاریخچه زمین نمونه هایی می آورند. نویسندگان نتیجه می گیرند که قوانین انرژی حتی اگر همه چیز را درباره هر چیزی نگویند، در همه جا حضور دارند.
سیر تاریخی علم ترمودینامیک بصورت زیر می‌باشد (کلیه تاریخ‌ها میلادی می‌باشند):
۱۷۹۸- کنت رامفورد (بنجامین تامسون) مطالعه تبدیل کار به گرما را طی آزمایش مشهور مته و تخته آغاز نمود.
۱۷۹۹- سرهامفری دیوی تبدیل کار به حرارت را با آزمایش سابیدن یخ مطالعه نمود.
۱۸۲۴- سادی کارنوت تئوری مشهور خود «بازتابی بر نیروی محرک آتش» منتشر نمود که در برگیرنده اصل جدیدی در باره تعریف چرخه و اصلی که توضیف کننده آن بود که چرخه بازگشت پذیر بین دو منبع حرارتی تنها به دمای منابع بستگی دارد و نه به موادکاری
۱۸۴۲- مایر اصل بقا انرژی را ارائه نمود.
۱۸۴۷- هلمهولتز اصل بقا انرژی را بصورت مستقل از مایر فروموله نمود.
۱۸۴۳-۱۸۴۸- جیمز پریسکات ژول با ترتیب دادن آزمایشاتی چهارچوب تجربی قانون اول ترمودینامیک را بنیان نهاد. امروزه به پاس این دانشمند بزرگ حرف J برای نمایش معادل مکانیکی کار استفاده می‌شود.
۱۸۴۸- لرد کلوین (ویلیام تامسون) واحد درجه حرارت مطلق را بر مبنای چرخه کارنو تعریف نمود.
۱۸۵۰- رادولف جی کلاوسیوس احتمالا به عنوان اولین کسی که به وجود دو قانون اساسی ترمودینامیک: قانون اول و قانون دوم ترمودینامیک ظی برد.
۱۸۶۵- کلاوسیوس قوانین اول و دوم ترمودینامیک را در دو خط بیان نمود:
 انرژی جهان دارای مقدار ثابتی است. 
آنتروپی جهان تمایل به بیشینه شدن دارد.
۱۸۷۵- جوزیا ویلیارد گیبس گزارش سرنوشت ساز خود «در برابری مواد ناهمگون» را که ترمودینامیک را به سیستم‌های ناهمگون و واکنش‌های شیمیایی بسط داد منتشر نمود. این گزارش اصل مهم پتانسیل شیمیایی را توصیف می‌نمود.
۱۸۹۷- ماکس پلانک قانون دوم ترمودینامیک را به صورت: «غیرممکن است بتوان موتوری ساخت که در یک چرخه کامل کار نموده و اثر دیگری غیر از بالا بردن وزنه و خنک نمودن یک منبع حرارتی داشته باشد.» بیان نمود.
０- کاراتئودوری ساختار جدیدی از ترمودینامیک را بر مبنای جدیدی که کاملا فرم ریاضی داشت منتشر نمود.